Конспект: Обоснование комплексных чисел [часть 3] (Алгебра)

    Поскольку, изучая множество C, нам придется действовать с линейными комбинациями матриц E и I, то выпишем значения различных попарных произведений этих матриц:
[EE = E^2 = E, EI = IE = I, I cdot I=I^2=-E tag{*}]    При изучении матриц мы рассматривали операцию транспонирования матриц, т.е. операцию, сопоставляющую (A) матрицу (A^T). Для матрицы (I in C) имеем: (I^T = -I). Поэтому, если матрица (A in C) и (A = aE + bI), то (A^T = aE – bI in C ). В этом случае матрицу (A^T) будем также обозначать через (bar{A}) и называть сопряженной к (A). Таким образом, если (A=aE+bI), то (bar{A}=aE-bI)    Подчеркнем замечательное свойство сопряженных матриц: [A+bar{A} = 2aE, Abar{A} = bar{A}A = (a^2 + b^2)E=(det A)E]    Для (A_1, A_2 in C) из свойств транспонирования матриц следует также, что [overline{A_1 + A_2} = bar{A_1} + bar{A_2}, overline{A_1A_2} = overline{A_2A_1} tag{**}]    Покажем, что множество матриц C относительно операций матричного сложения и матричного умножения образуют кольцо и изучим свойства этого кольца. Начнем с того, что нам нужно показать замкнутость операций сложения и умножения матриц. Пусть (A_1, A_2 in C). Отсюда следует, что (A_1 = a_1E + b_1I, A_2 = a_2E + b_2I), где (a_1, a_2, b_1, b_2 in R) (вещественные числа). Тогда (A_1 + A_2 = (a_1 + a_2)E = (b_1 + b_2)I in C) и (A_1A_2 = (a_1E + b_1I)(a_2E + b_2I) = a_1a_2E + b_1a_2I + a_1b_2I – b_1b_2E=) (= (a_1a_2 – b_1b_2)E + (a_1b_2 + b_1a_2)I in C) (обращаем внимание, что при доказательстве замкнутости произведения матриц из C мы пользовались как свойствами умножения матриц на числа, так и формулами (*)).
    Выпишем теперь свойства сложения и умножения матриц из C.

  1. ((A_1 + A_2) + A_3 = A_1 + (A_2 + A_3)) (вытекает из ассоциативности сложения матриц).
  2. Существует (0 in C) (нулевая матрица) такая, что A + 0 = A для любой (A in C ) (очевидно).
  3. Для любой (A in C) существует матрица (-A), такая что A+ (-A) = 0 (очевидное свойство существования в C для любой матрицы противоположной ей матрицы).
  4. (A_1 + A_2 = A_2 + A_1) (очевидно).
  5. ((A_1A_2)A_3 = A_1(A_2A_3) )(вытекает из ассоциативности умножения матриц).
  6. В C существует единичная матрица E, такая что AE = A для любой (A in C).
Продолжение читайте в четвертой части “Обоснования комплексных чисел”.
Опубликовано: 9 марта

Добавить свой комментарий

(обязательно):