Лабораторная работа: гироскоп [часть 2] (Физика)

    Рассмотрим теперь систему материальных точек (частным случаем такой системы, когда расстояния между всеми точками остаются неизменными, является твердое тело).
    Моментом силы, действующим на систему, относительно точки O называется сумма моментов сил, приложенных к точкам системы:
 [ vec{M} = sum_{i}vec{M_i} = sum_{i}[vec{r_i}, vec{F_i}] tag{3.7}  ]
В силу третьего закона Ньютона моменты всех внутренних сил взаимно уничтожаются, поэтому в выражении (3.7) нужно учитывать только внешние силы.
    Моментом импульса системы материальных точек относительно точки O называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих систему [ vec{N} = sum_{i}[vec{r_i}, vec{p_i}] tag{4.7} ] Для того чтобы найти связь между моментом силы и моментом импульса, продифференцируем равенство (4.7) по времени. [ frac{dvec{N}}{dt} = sum_{i}[frac{dvec{r_i}}{dt}, vec{p_i}] + sum_{i}[vec{r_i}, frac{dvec{p_i}}{dt}] tag{5.7}  ] Учтем, что ( frac{dvec{r_i}}{dt} = vec{v_i} ) – вектор скорости материальной точки, по направлению совпадающий с ее импульсом ( vec{p_i} ). Так как векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю, то равен нулю и первый член правой части равенства (5). Второй же член выражает момент сил, поскольку в соответствии со вторым законом Ньютона [ frac{dvec{p_i}}{dt} = vec{F_i} ] В результате уравнение (5.7) примет вид [ frac{dvec{N}}{dt} = vec{M} tag{6.7} ] Это равенство называют уравнением моментов.
Рассмотрим теперь однородное твердое тело, имеющее ось симметрии OO’ и вращающееся вокруг этой оси с угловой скоростью (omega) (рис.4.7).

Выберем на оси произвольную точку O (безразлично, внутри тела или вне его) и определим момент импульса тела относительно этой точки. Разобьем тело на элементарные объемы ( bigtriangleup V_i ) с массой (bigtriangleup m_i). Момент импульса такой частички будет ( vec{N}=bigtriangleup m_i [vec{r_i}, vec{v_i}] ). Это вектор, перпендикулярный радиус-вектору ( vec{r_i} ), определяющему положение элементарной частички ( bigtriangleup m_i ) и ее скорости ( vec{v_i} ). Просуммируем по всем i [ vec{N} = sum_{i}vec{N_i} tag{7.7}  ] Учтем, что в силу осевой симметрии фигуры, каждому элементарному объему ( bigtriangleup vec{V_i} ), будет соответствовать симметричный ему объем ( bigtriangleup vec{V’_i} ) с моментом импульса ( bigtriangleup vec{N’_i} ). При сложении векторов ( vec{N_i} ) и ( vec{N’_i} ) оставляющие, перпендикулярные оси, взаимно уничтожатся, поэтому в сумме (7.7) нужно учитывать только состав-ляющие параллельные оси, равные ( N_isin{phi_i} ), где (phi_i ) – угол, который вектор (vec{r_i} ) составляет с осью. Следовательно
[ N = sum_{i}bigtriangleup m_i R^2_iomega = omegasum_{i}bigtriangleup m_i R^2_i = Iomega  ]
Величину ( I = sum_{i} bigtriangleup m_i R^2_i  ) называют моментом инерции тела относительно оси OO’.
Если перейти к интегралу, то момент инерции определится так
[ I = int_{v}rho R^2 dV  ]
где ( rho ) – плотность тела, V – его объем.
    Момент импульса ( vec{N} ), как мы видели, направлен по оси вращения, как и вектор угловой скорости, поэтому в векторном виде можно записать ( vec{N} = Ivec{omega} (8.7) )
    Заметим, что если ось вращения не совпадает с осью симметрии тела (или симметрии вообще нет), то при суммировании в (7.7) составляющие, перпендикулярные оси, в общем случае не уничтожатся взаимно, и направление момента импульса не совпадет с направлением угловой скорости.
    Вернемся к нашему волчку. Найдем связь между угловой скоростью прецессии ( omega_1 ) и моментом сил M. В нашем случае равенство (8.7) не вполне точно, так как волчок участвует одновременно в двух вращательных движениях – вращении вокруг своей оси и прецессии около оси OZ. Но так как скорость прецессии невелика, её влиянием на величину и направление вектора ( vec{N}) можно пренебречь.
    Рассмотрим уравнение (6.7). За бесконечно малый промежуток времени  (dt) вектор (vec{N}) получает перпендикулярное себе приращение (dN = Nsin{phi}dalpha), лежащее в горизонтальной плоскости. Следовательно, ( M = Nsin{phi}frac{dalpha}{dt}  )
Но ( frac{dalpha}{dt}  ) есть, очевидно, угловая скорость прецессии (omega_1). (Заметим, что, так как момент сил в нашем случае – величина постоянная, то постоянной будет и угловая скорость прецессии). Подставив в последнее выражение ( N = Iomega ) и ( frac{dalpha}{dt} =  omega_1  ) будем иметь (M = Iomegaomega_1sin{phi} ), а, учитывая векторный характер величин, получим [ vec{M} = [vec{omega_1}, Ivec{omega}] tag{9.7} ] По этой формуле можно определить величину и направление угловой скорости прецессии, если известен момент сил, действующих на гироскоп. Из формулы (9.7) следует, что момент сил определяет не угловое у с к о р е н и е (как это было бы для не вращающегося гироскопа), а угловую с к о р о с т ь прецессии. Значит, как только внешнее воздействие прекращается (M=0), прекращается и прецессионное движение. Если воздействие было кратковременным, то ось успеет повернуться только на очень малый угол. Таким образом, становится понятной и устойчивость гироскопа.

Опубликовано: 23 февраля

Добавить свой комментарий

(обязательно):