Конспект: обоснование комплексных чисел [часть 2] (алгебра)

      Поясняющее определение. В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства над данным полем P, в которых кроме действий сложения и умножения на числа поля определено ещё действие умножения, сопоставляющее каждой паре «векторов» (элементов векторного пространства) третий вектор того же пространства – их «произведение». В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения векторов (X) и (Y), т.е. ( XY ), линеен по каждому из сомножителей при фиксированном втором:
( (c_1X_1 + c_2X_2)Y = c_1X_1Y + c_2X_2Y ) и ( X(c_1Y_1 + c_2Y_2) = c_1XY_1 + c_1X_1).
Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем P.
      Иначе можно сказать, что алгебра есть кольцо и линейное (векторное) пространство с естественным согласованием «кольцевого» умножения и векторных (линейных) действий. Именно сложение в кольце и сложение в векторном пространстве совпадают, а свойства дистрибутивности для умножения «усиливаются» до линейности по каждому множителю, для чего достаточно потребовать, чтобы ((cX)Y = X(cY) = cXY) при любых ( c in P) и (X) и (Y) из алгебры.
      Несмотря на относительную новизну и некоторую абстрактность введенного определения новой структуры – алгебры, мы с ней уже сталкивались, когда рассматривали множество квадратных матриц порядка (n), т.е. (M_n) . Действительно. То, что (M_n) является линейным пространством над полем P, которому принадлежат элементы матриц, мы уже показывали в параграфе 3. Более того, в пункте 6 названного параграфа мы отмечали, что (M_n) является ассоциативным кольцом с единицей. Тем самым мы ещѐ в параграфе 3 показали, что (M_n) является алгеброй, хотя и не использовали этого термина. Более того, в упражнении, которым заканчивается параграф 3, мы, опять таки не вводя термина, фактически ввели комплексные числа.
      Напомним, в этом упражнении требовалось показать, что множество квадратных матриц вида (A = begin{pmatrix} a & -b \ b & a end{pmatrix} ) с вещественными элементами, относительно операций сложения и умножения матриц образует структуру поля. Вернемся к этому упражнению.
      Обозначим через C множество матриц вида (A = begin{pmatrix} a & -b \ b & a end{pmatrix} ) вещественными элементами. Очевидно, что ( C subset M_2) и [ A = begin{pmatrix} a & -b \ b & a end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix} = aE + bI, ] где ( E = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} ) и ( I = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix} ).
То есть, множество C есть множество линейных комбинаций матриц (E) и (I) с вещественными коэффициентами. Воспользуемся полученными знаниями о линейной зависимости и независимости строк (столбцов), применив их к нашим матрицам (E) и (I), и покажем, что эти матрицы линейно независимы. Приравняем для этого линейную комбинацию (x_1E + x_2I) нулевой матрице, т.е. рассмотрим выражение (x_1E + x_2I = 0). Так как ненулевые элементы матрицы (E) расположены там, где расположены нули матрицы (I), и, наоборот, ненулевые элементы матрицы (I) расположены там, где расположены нули матрицы (E), то (x_1E + x_2I = 0) возможно тогда и только тогда, когда (x_1 + x_2 = 0). Значит, матрицы (E) и (I) действительно линейно независимы и составляют базисную совокупность в множестве матриц C.

Автор данной лекции – Хитров Г. М. (кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики). Перейти на страницу.
Опубликовано: 11 ноября

Добавить свой комментарий

(обязательно):