Конспект: обоснование комплексных чисел [часть 1] (алгебра)

1. Обоснование комплексных чисел

      Обращаясь к комплексным числам, приведем краткий исторический материал, заимствовав его, как и многое другое, из учебника Д.К. Фаддеева «Лекции по алгебре».
      «Как известно, комплексными числами называются выражения вида (a + bi), где a и (b) – вещественные числа, (i) – некоторый символ, удовлетворяющий соотношению (i^2 = -1). Первые попытки введения в математику комплексных чисел были сделаны итальянскими математиками (16) в. Кардано и Бомбелли в связи с решениями уравнений третьей и четвертой степеней. Однако признание комплексных чисел как ценного орудия исследования происходило очень медленно. Недоверие вызывал сам символ (i) («мнимая единица»), заведомо не существующий среди вещественных чисел. Это недоверие усугублялось тем, что некритическое перенесение некоторых формул обычной алгебры на комплексные числа порождало неприятные парадоксы (например, (i^2 = -1), но вместе с тем, используя формальное выражение (i = sqrt{-1}) и обычные правила действий с квадратными корнями, получим (-1 = i^2 = sqrt{-1} cdot sqrt{-1} = sqrt{(-1)^2} = sqrt{1} = +-1 ) (наше видоизменение формулы – Г.Х.)). Лишь в 19 в. Гауссу удалось дать достаточно убедительное обоснование понятия комплексного числа. Построенная в 19 в. на основе комплексных чисел теория функций комплексного переменного обогатила математический анализ новыми результатами, придала значительной части математического анализа чрезвычайную стройность и чистоту, а в дальнейшем оказалась могущественным средством исследования в важных разделах механики и физики. Таким образом, «невозможные», «мнимые» числа явились ценнейшим средством исследования, и тем самым их введение в науку оказалось оправданным не только их непротиворечивостью, но и практической важностью».
      Поскольку любое комплексное число в записи (a + bi) определяется парой вещественных чисел (a) и (b), то в указанном учебнике для введения комплексных чисел рассматриваются упорядоченные пары ((a,b)) вещественных чисел, на множестве которых специальным образом заданы операции сложения и умножения. Показывается, что, относительно введенных операций сложения и умножения упорядоченные пары образуют структуру поля, т.е. упорядоченные пары можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и.т.д. Кроме того, появляется дополнительная операция – умножение упорядоченных пар на вещественные числа, по тому же правилу, как мы умножали матрицы на числа (по сути, упорядоченная пара и есть частный случай матрицы). В учебнике показывается, что в множестве пар, существует пара ((0,1)), произведение которой на себя (квадрат пары) дает пару ((-1,0)), а произведение пары ((b,0)) на пару ((0,1)) дает пару ((0,b)). Поскольку сложение пар задается так же как сложение матриц (сложить пары означает сложить соответствующие элементы), то пару (a,b) можно представить в виде: ( (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) cdot (0,1) ).
Далее, поскольку пары вида ((a,0)) замкнуты относительно операций сложения (((a,0) + (b,0) = (a + b,0))), умножения пар (((a,0) cdot (b,0) = (ab,0) )), умножения этих пар на вещественные числа (((a,0)b = b(a,0) = (ab,0))), то предлагается отождествить пары такого вида с вещественными числами. То есть, предлагается положить ((a,0) = a). Теперь, если для пары ((0,1)) ввести специальное обозначение (i), получим: [(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) cdot (0,1) = a + bi ] (последний знак равенства означает эквивалентность предыдущей записи с последней). При этом, согласно принятым договорѐнностям, имеем [i^2 = 1 ] Такой подход к введению комплексных чисел позволяет лишить «мнимую» единицу её таинственного мистического смысла, поскольку (i = (0,1)), т.е. лишь обозначение вполне реальной пары вещественных чисел. С другой стороны, договоренности относительно отождествления пар вида (a,1)) с вещественными числами и относительно обозначения (i = (0,1)) позволяют вернуться к привычным (со школы) обозначениям комплексных чисел и не впадать в затруднение, приведенное в цитате.
      Выше мы не стали приводить определение умножения пар, не стали останавливаться на некоторых трудностях доказательств аксиом поля для пар, но, по сути, изложили схему введения комплексных чисел. Тем самым мы как бы заявили, что будем вводить комплексные числа иначе. Сразу же успокоим читателя, что никаких особых новшеств по сравнению с упомянутым выше учебником не будет. Мы просто будем использовать замечание учебника, что комплексные числа являются конкретным примером не оговоренной пока алгебраической структуры, которая носит такое же название как изучаемый нами раздел математики, т.е. алгебра.

Автор данной лекции — Хитров Г. М. (кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики). Перейти на страницу.

Опубликовано: 9 ноября

Добавить свой комментарий

(обязательно):

Присылай свое сочинение нам и получай денежное вознаграждение! Подробности на genericwrite@gmail.com.